Mercek Sistemleri ve Alan Derinliği

• 1. Neden Mercek?
• 2. Gaussian Mercek Yasası
  • 2.1 Açıklık ve f-Numarası
  • 2.2 Mendil Kutusu (Tissue Box) Deneyi
  • 2.3 Zoom
• 3. Odak Dışı Bulanıklık (Defocus) ve Alan Derinliği (DoF)
  • 3.1 Bulanıklık Dairesi
  • 3.2 Alan Derinliği (Depth of Field)
  • 3.3 Hiper Odak Uzaklığı (Hyperfocal Distance)
  • 3.4 Kritik Ödünleşim
• Özet

1. Neden Mercek?

İğne deliği kameraları net görüntüler üretir, ancak açıklığın aşırı küçük olması nedeniyle çok az ışık toplar — Flatiron binası örneğinde 12 saniyelik pozlama gerekmiştir. Mercekler, geniş bir açıklıktan gelen ışığı kırarak tek bir noktada toplar ve parlaklığı artırırken perspektif modelini korur.

Temel Ödünleşim: Mercekler daha fazla ışık toplar ancak sınırlı bir alan derinliği getirir — yalnızca tek bir düzlem mükemmel odaktadır.

2. Gaussian Mercek Yasası

İnce bir mercek için nesne mesafesi ($o$), görüntü mesafesi ($i$) ve odak uzaklığı ($f$) arasındaki ilişki Gaussian Mercek Yasası ile verilir:

$$ \frac{1}{i} + \frac{1}{o} = \frac{1}{f} $$

flowchart LR
    A["Nesne<br/>Mesafe o"] --> B["İnce Mercek<br/>Odak Uzaklığı f"]
    B --> C["Görüntü<br/>Mesafe i"]
    D["1/f = 1/i + 1/o"] -.- B
    
    style A fill:#1a1a2e,stroke:#e94560,color:#fff
    style B fill:#16213e,stroke:#4cc9f0,color:#fff
    style C fill:#0f3460,stroke:#e94560,color:#fff
    style D fill:#1a1a2e,stroke:#888,color:#888

Sayısal Örnek: $f = 50$mm odak uzaklığındaki bir mercekle, $o = 300$mm uzaklıktaki bir nesneye odaklanıldığında:

$$ \frac{1}{i} = \frac{1}{50} - \frac{1}{300} = \frac{6 - 1}{300} = \frac{5}{300} $$

$$ i = 60 \text{ mm} $$

Görüntü merceğin 60 mm arkasında oluşur.

2.1 Açıklık ve f-Numarası

Işık toplama kapasitesi diyafram çapı ($D$) ile belirlenir. f-numarası ($N$) şu şekilde tanımlanır:

$$ N = \frac{f}{D} $$

2.2 Mendil Kutusu (Tissue Box) Deneyi

İlginç ve sezgisel olmayan bir gözlem: bir merceğin yarısı kapatıldığında görüntü bozulmaz veya odağını kaybetmez. Sadece sensöre ulaşan ışık miktarı azaldığı için görüntü kararır. Merceğin açık kalan her bir parçası, sahnenin tamamını odak düzlemine izdüşürmeye devam eder.

Neden? Mercek üzerindeki her nokta, görüş alanı içindeki tüm sahne noktalarından ışık alır. Merceğin bir kısmını engellemek ışın sayısını azaltır ama geometrik yollarını değiştirmez — tüm sahne yine izdüşürülür, sadece daha karanlık olur.

2.3 Zoom

Zoom işlemi, çoklu mercek sistemlerinde mercekleri hareket ettirerek magnifikasyonu değiştirme sürecidir. Fiziksel olarak lens değiştirmeden etkin odak uzaklığını değiştirir.

3. Odak Dışı Bulanıklık (Defocus) ve Alan Derinliği (DoF)

Bir mercek sistemi, belirli bir sensör konumunda yalnızca tek bir odak düzlemini mükemmel odaklar. Bu düzlemin dışındaki noktalar, görüntü düzleminde bir bulanıklık dairesi (blur circle) oluşturur.

3.1 Bulanıklık Dairesi

Benzer üçgenler kullanılarak, bulanıklık dairesi çapının ($b$) açıklık çapı ($D$) ile ilişkisi şu şekilde türetilir:

$$ \frac{b}{D} = \frac{|i’ - i|}{i’} $$

Burada $i’$ odak dışı noktanın görüntü mesafesi, $i$ ise sensörün bulunduğu mesafedir.

flowchart LR
    subgraph InFocus["Odakta"]
        A1["Odak Düzlemindeki Nokta"] --> B1["Mercek"] --> C1["Sensörde Keskin Nokta"]
    end
    subgraph OutOfFocus["Odak Dışı"]
        A2["Odak Dışındaki Nokta"] --> B2["Mercek"] --> C2["Sensörde Bulanıklık Dairesi"]
    end
    
    style A1 fill:#16213e,stroke:#4cc9f0,color:#fff
    style B1 fill:#1a1a2e,stroke:#4cc9f0,color:#fff
    style C1 fill:#0f3460,stroke:#4cc9f0,color:#fff
    style A2 fill:#16213e,stroke:#e94560,color:#fff
    style B2 fill:#1a1a2e,stroke:#e94560,color:#fff
    style C2 fill:#0f3460,stroke:#e94560,color:#fff

Bu denklem, bulanıklık dairesi çapının açıklık çapıyla doğru orantılı olduğunu kanıtlar — geniş açıklıklar daha fazla odak dışı bulanıklık üretir.

3.2 Alan Derinliği (Depth of Field)

Alan Derinliği (DoF), bulanıklık dairesi çapının piksel boyutundan ($C$) küçük kaldığı derinlik aralığıdır. $b < C$ ise görüntü “net” algılanır.

$$ \text{DoF} \propto \frac{N \cdot C \cdot o^2}{f^2} $$

3.3 Hiper Odak Uzaklığı (Hyperfocal Distance)

Hiper odak uzaklığı ($H$), merceğin öyle bir mesafeye odaklanmasıdır ki, o noktadan sonsuza kadar her yer kabul edilebilir netlikte kalır:

$$ H = \frac{f^2}{N \cdot C} + f $$

Akıllı telefon kameraları bu parametreyi stratejik olarak kullanır — küçük sensörleri ve kısa odak uzaklıkları çok büyük bir hiper odak mesafesi üretir, böylece aktif odaklama olmadan neredeyse her şey nettir.

3.4 Kritik Ödünleşim

Optik tasarımda bedava öğle yemeği yoktur — her kazanç başka bir boyutta maliyet getirir.

Özet

• Mercekler ışık toplamayı artırır ancak sınırlı alan derinliği getirir.
• Gaussian Mercek Yasası: $1/i + 1/o = 1/f$ ince mercek davranışını tanımlar.
• f-Numarası $N = f/D$ açıklık boyutunu ölçer ve ışık ile DoF’yi doğrudan etkiler.
• Bulanıklık dairesi $b/D = |i’ - i|/i’$ odak dışının açıklıkla orantılı olduğunu kanıtlar.
• Hiper odak uzaklığı $H = f^2/(N \cdot C) + f$ stratejik odak optimizasyonu sağlar.
• Açıklık ödünleşimi (ışık vs. DoF) temel ve kaçınılmazdır.